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Les mathématiques de la mémoire

La Neural Map n'éparpille pas vos souvenirs sur une toile. Elle les enroule sur des objets mathématiques. Chaque topologie ci-dessous est une vraie structure paramétrique : les équations sont exactement celles que le moteur calcule (et que la carte affiche) quand votre mémoire prend cette forme.

Pourquoi des mathématiques ? Parce qu'une forme structurée peut être naviguée. Une spirale a un dedans et un dehors, un nœud a des croisements, un attracteur a des flux. La position devient du sens, et votre mémoire devient un espace qu'on apprend comme on apprend un lieu. Les marins avaient les étoiles ; vous avez dix-neuf ciels.

Attracteurs chaotiques​

Attracteur de Lorenz​

Intégrer le système de Lorenz depuis un point-graine produit une dynamique chaotique non linéaire : le papillon.

dxdt=σ(y−x), dydt=x(ρ−z)−y, dzdt=xy−βz(x0,y0,z0)=(0.1,0,0)\begin{gathered} \frac{dx}{dt} = \sigma(y-x),\ \frac{dy}{dt} = x(\rho-z)-y,\ \frac{dz}{dt} = xy-\beta z \\ (x_0, y_0, z_0) = (0.1, 0, 0) \end{gathered}

Attracteur de Rössler​

Les équations différentielles chaotiques de Rössler, pliées en un ruban à boucle unique.

dxdt=−y−z, dydt=x+ay, dzdt=b+z(x−c)(x0,y0,z0)=(0.1,0.1,0.1)\begin{gathered} \frac{dx}{dt} = -y - z,\ \frac{dy}{dt} = x + a y,\ \frac{dz}{dt} = b + z(x - c) \\ (x_0, y_0, z_0) = (0.1, 0.1, 0.1) \end{gathered}

Une mémoire enroulée sur l'attracteur de Rössler

Surfaces minimales​

Surface minimale d'Enneper​

Une surface minimale auto-intersectante à la symétrie organique, paramétrée par des coordonnées analytiques complexes.

x=scale⋅(u−u33+uv2)y=scale⋅(v−v33+vu2)z=scale⋅(u2−v2)\begin{gathered} x = scale \cdot (u - \frac{u^3}{3} + u v^2) \\ y = scale \cdot (v - \frac{v^3}{3} + v u^2) \\ z = scale \cdot (u^2 - v^2) \end{gathered}

Une mémoire enroulée sur la surface minimale d'Enneper

Caténoïde​

La surface minimale d'une chaînette en rotation, la forme physique d'un film de savon.

x=ccosh⁡(u)cos⁡(v)y=u⋅Lz=ccosh⁡(u)sin⁡(v)\begin{gathered} x = c\cosh(u)\cos(v) \\ y = u\cdot L \\ z = c\cosh(u)\sin(v) \end{gathered}

Paraboloïde hyperbolique​

Une selle ouverte, géométrie hyperbolique et tangentes d'expansion infinie.

z=x2−y21.2Rx=rncos⁡(θn)y=rnsin⁡(θn)\begin{gathered} z = \frac{x^2 - y^2}{1.2 R} \\ x = r_n \cos(\theta_n) \\ y = r_n \sin(\theta_n) \end{gathered}

Pseudosphères & coquillages​

Surface de Dini​

Une pseudosphère hélicoïdale à courbure négative constante, une corne en spirale.

x=acos⁡(u)sin⁡(v)y=asin⁡(u)sin⁡(v)z=a(cos⁡(v)+ln⁡tan⁡(v/2))+bu\begin{gathered} x = a \cos(u)\sin(v) \\ y = a \sin(u)\sin(v) \\ z = a(\cos(v) + \ln\tan(v/2)) + b u \end{gathered}

Une mémoire enroulée sur la surface de Dini

Coquillage logarithmique​

Un cône en spirale logarithmique, la mémoire projetée sur la morphogenèse des coquilles.

x=aebu(1+cos⁡(v))cos⁡(u)y=aebu(1+cos⁡(v))sin⁡(u)z=aebusin⁡(v)−H\begin{gathered} x = a e^{bu}(1+\cos(v))\cos(u) \\ y = a e^{bu}(1+\cos(v))\sin(u) \\ z = a e^{bu}\sin(v) - H \end{gathered}

Tores & surfaces non orientables​

Anneau toroïdal​

Des suites premières enroulées sur un tore, les harmoniques structurelles séparées en enroulements majeurs et mineurs.

x=(R+rtubecos⁡(ϕn))cos⁡(θn)y=rtubesin⁡(ϕn)z=(R+rtubecos⁡(ϕn))sin⁡(θn)\begin{gathered} x = (R + r_{\text{tube}} \cos(\phi_n)) \cos(\theta_n) \\ y = r_{\text{tube}} \sin(\phi_n) \\ z = (R + r_{\text{tube}} \cos(\phi_n)) \sin(\theta_n) \end{gathered}

Une mémoire enroulée sur l'anneau toroïdal

Tore plat de Clifford​

Le tore plat de Clifford, objet de dimension 4, projeté stéréographiquement de la 3-sphère vers notre espace.

x=Rcos⁡(u)2−cos⁡(v)y=Rsin⁡(u)2−cos⁡(v)z=Rsin⁡(v)2−cos⁡(v)\begin{gathered} x = \frac{R\cos(u)}{2-\cos(v)} \\ y = \frac{R\sin(u)}{2-\cos(v)} \\ z = \frac{R\sin(v)}{2-\cos(v)} \end{gathered}

Ruban de Möbius​

Une seule face, un seul bord, des flux non orientables.

x=(R+vncos⁡(θn/2))cos⁡(θn)y=vnsin⁡(θn/2)z=(R+vncos⁡(θn/2))sin⁡(θn)\begin{gathered} x = (R + v_n \cos(\theta_n / 2)) \cos(\theta_n) \\ y = v_n \sin(\theta_n / 2) \\ z = (R + v_n \cos(\theta_n / 2)) \sin(\theta_n) \end{gathered}

Bouteille de Klein (figure 8)​

Une projection 3D de la bouteille de Klein non orientable, une variété qui se traverse elle-même.

x=(R+cos⁡(θn2)sin⁡(vn)−sin⁡(θn2)sin⁡(2vn))cos⁡(θn)y=sin⁡(θn2)sin⁡(vn)+cos⁡(θn2)sin⁡(2vn)z=(R+cos⁡(θn2)sin⁡(vn)−sin⁡(θn2)sin⁡(2vn))sin⁡(θn)\begin{gathered} x = (R + \cos(\frac{\theta_n}{2})\sin(v_n) - \sin(\frac{\theta_n}{2})\sin(2v_n))\cos(\theta_n) \\ y = \sin(\frac{\theta_n}{2})\sin(v_n) + \cos(\frac{\theta_n}{2})\sin(2v_n) \\ z = (R + \cos(\frac{\theta_n}{2})\sin(v_n) - \sin(\frac{\theta_n}{2})\sin(2v_n))\sin(\theta_n) \end{gathered}

Nœuds & entrelacs​

Nœud de trèfle​

La spirale première de Fermat enroulée sur le plus simple des nœuds non triviaux.

x=R(sin⁡(θn)+2sin⁡(2θn))y=R(cos⁡(θn)−2cos⁡(2θn))z=−Rsin⁡(3θn)\begin{gathered} x = R (\sin(\theta_n) + 2 \sin(2\theta_n)) \\ y = R (\cos(\theta_n) - 2 \cos(2\theta_n)) \\ z = -R \sin(3\theta_n) \end{gathered}

Nœud torique (8,3)​

Huit tours le long du tube, trois autour de l'axe.

r=R+r0cos⁡(8θ)x=rcos⁡(3θ)y=r0sin⁡(8θ)z=rsin⁡(3θ)\begin{gathered} r = R + r_0\cos(8\theta) \\ x = r\cos(3\theta) \\ y = r_0\sin(8\theta) \\ z = r\sin(3\theta) \end{gathered}

Anneaux borroméens​

Trois anneaux orthogonaux, aucun lié à aucun autre, et pourtant le trio est inséparable.

R1:(x,y)∈ellipse, z≈0R2:(y,z)∈ellipse, x≈0R3:(x,z)∈ellipse, y≈0\begin{gathered} R_1: (x,y) \in \text{ellipse},\ z \approx 0 \\ R_2: (y,z) \in \text{ellipse},\ x \approx 0 \\ R_3: (x,z) \in \text{ellipse},\ y \approx 0 \end{gathered}

Hélices & spirales​

Hélice cylindrique​

La spirale première de Fermat extrudée le long de l'axe Y, hauteurs brouillées pour exposer les structures imbriquées.

x=rncos⁡(θn)y=hn⋅Lz=rnsin⁡(θn)\begin{gathered} x = r_n \cos(\theta_n) \\ y = h_n \cdot L \\ z = r_n \sin(\theta_n) \end{gathered}

Double hélice​

Deux hélices entrelacées, des doubles brins à la manière de l'ADN.

x1=Rcos⁡(θn), y1=hn⋅L, z1=Rsin⁡(θn)x2=Rcos⁡(θn+π), y2=hn⋅L, z2=Rsin⁡(θn+π)\begin{gathered} x_1 = R \cos(\theta_n),\ y_1 = h_n \cdot L,\ z_1 = R \sin(\theta_n) \\ x_2 = R \cos(\theta_n + \pi),\ y_2 = h_n \cdot L,\ z_2 = R \sin(\theta_n + \pi) \end{gathered}

Disque en spirale de Fermat​

Une spirale de Fermat à plat, avec un souffle de profondeur pour la perspective.

x=rncos⁡(θn)y=rnsin⁡(θn)z∈[−25,25]\begin{gathered} x = r_n \cos(\theta_n) \\ y = r_n \sin(\theta_n) \\ z \in [-25, 25] \end{gathered}

Sphères & étoiles​

Nébuleuse sphérique​

Des coordonnées de Fibonacci sphériques, les nœuds dispersés en volume, jamais compressés en coquille.

cos⁡(ϕn)=1−2iN−1x=rnsin⁡(ϕn)cos⁡(θn)y=rncos⁡(ϕn)z=rnsin⁡(ϕn)sin⁡(θn)\begin{gathered} \cos(\phi_n) = 1 - \frac{2i}{N-1} \\ x = r_n \sin(\phi_n) \cos(\theta_n) \\ y = r_n \cos(\phi_n) \\ z = r_n \sin(\phi_n) \sin(\theta_n) \end{gathered}

Étoile astroïdale​

Un ellipsoïde astroïdal, six pointes orthogonales.

x=Rcos⁡3(v)cos⁡3(u)y=Rsin⁡3(v)z=Rcos⁡3(v)sin⁡3(u)\begin{gathered} x = R \cos^3(v)\cos^3(u) \\ y = R \sin^3(v) \\ z = R \cos^3(v)\sin^3(u) \end{gathered}

Chacune de ces formes s'active depuis le panneau Geometry de la carte. Changez de topologie librement, votre mémoire se ré-enroule sur place.

Et si la mémoire a besoin d'un cosmos pour être navigable, c'est peut-être pour ça que le cosmos ressemble tant à une mémoire.