Las matemáticas de la memoria

El Neural Map no esparce tus recuerdos sobre un lienzo. Los enrolla sobre objetos matemáticos. Cada topología de abajo es una estructura paramétrica real: las ecuaciones son exactamente las que el motor calcula (y el mapa muestra) cuando tu memoria toma esa forma.

¿Por qué matemáticas? Porque una forma con estructura puede navegarse. Una espiral tiene un dentro y un fuera, un nudo tiene cruces, un atractor tiene flujos. La posición se vuelve significado, y tu memoria se vuelve un espacio que aprendes como se aprende un lugar. Los marinos tenían las estrellas; tú tienes diecinueve cielos.

Atractores caóticos

Atractor de Lorenz

Integrar el sistema de Lorenz desde un punto semilla produce una dinámica caótica no lineal: la mariposa.

$$\begin{gathered} \frac{dx}{dt} = \sigma(y-x),\ \frac{dy}{dt} = x(\rho-z)-y,\ \frac{dz}{dt} = xy-\beta z \\ (x_0, y_0, z_0) = (0.1, 0, 0) \end{gathered}$$

Atractor de Rössler

Las ecuaciones diferenciales caóticas de Rössler, plegadas en una cinta de bucle único.

$$\begin{gathered} \frac{dx}{dt} = -y - z,\ \frac{dy}{dt} = x + a y,\ \frac{dz}{dt} = b + z(x - c) \\ (x_0, y_0, z_0) = (0.1, 0.1, 0.1) \end{gathered}$$

Superficies mínimas

Superficie mínima de Enneper

Una superficie mínima auto-intersecante de simetría orgánica, parametrizada por coordenadas analíticas complejas.

$$\begin{gathered} x = scale \cdot (u - \frac{u^3}{3} + u v^2) \\ y = scale \cdot (v - \frac{v^3}{3} + v u^2) \\ z = scale \cdot (u^2 - v^2) \end{gathered}$$

Catenoide

La superficie mínima de una catenaria en rotación, la forma física de la tensión de una película de jabón.

$$\begin{gathered} x = c\cosh(u)\cos(v) \\ y = u\cdot L \\ z = c\cosh(u)\sin(v) \end{gathered}$$

Paraboloide hiperbólico

Una silla abierta, geometría hiperbólica y tangentes de expansión infinita.

$$\begin{gathered} z = \frac{x^2 - y^2}{1.2 R} \\ x = r_n \cos(\theta_n) \\ y = r_n \sin(\theta_n) \end{gathered}$$

Pseudoesferas & conchas

Superficie de Dini

Una pseudoesfera helicoidal de curvatura negativa constante, un cuerno en espiral.

$$\begin{gathered} x = a \cos(u)\sin(v) \\ y = a \sin(u)\sin(v) \\ z = a(\cos(v) + \ln\tan(v/2)) + b u \end{gathered}$$

Concha logarítmica

Un cono en espiral logarítmica, la memoria proyectada sobre la morfogénesis de las conchas.

$$\begin{gathered} x = a e^{bu}(1+\cos(v))\cos(u) \\ y = a e^{bu}(1+\cos(v))\sin(u) \\ z = a e^{bu}\sin(v) - H \end{gathered}$$

Toros & superficies no orientables

Anillo toroidal

Secuencias de primos enrolladas sobre un toro, los armónicos estructurales separados en devanados mayores y menores.

$$\begin{gathered} x = (R + r_{\text{tube}} \cos(\phi_n)) \cos(\theta_n) \\ y = r_{\text{tube}} \sin(\phi_n) \\ z = (R + r_{\text{tube}} \cos(\phi_n)) \sin(\theta_n) \end{gathered}$$

Toro plano de Clifford

El toro plano de Clifford, objeto de dimensión 4, proyectado estereográficamente desde la 3-esfera a nuestro espacio.

$$\begin{gathered} x = \frac{R\cos(u)}{2-\cos(v)} \\ y = \frac{R\sin(u)}{2-\cos(v)} \\ z = \frac{R\sin(v)}{2-\cos(v)} \end{gathered}$$

Cinta de Möbius

Una sola cara, un solo borde, flujos no orientables.

$$\begin{gathered} x = (R + v_n \cos(\theta_n / 2)) \cos(\theta_n) \\ y = v_n \sin(\theta_n / 2) \\ z = (R + v_n \cos(\theta_n / 2)) \sin(\theta_n) \end{gathered}$$

Botella de Klein (figura 8)

Una proyección 3D de la botella de Klein no orientable, una variedad que se atraviesa a sí misma.

$$\begin{gathered} x = (R + \cos(\frac{\theta_n}{2})\sin(v_n) - \sin(\frac{\theta_n}{2})\sin(2v_n))\cos(\theta_n) \\ y = \sin(\frac{\theta_n}{2})\sin(v_n) + \cos(\frac{\theta_n}{2})\sin(2v_n) \\ z = (R + \cos(\frac{\theta_n}{2})\sin(v_n) - \sin(\frac{\theta_n}{2})\sin(2v_n))\sin(\theta_n) \end{gathered}$$

Nudos & enlaces

Nudo de trébol

La espiral prima de Fermat enrollada sobre el nudo no trivial más simple.

$$\begin{gathered} x = R (\sin(\theta_n) + 2 \sin(2\theta_n)) \\ y = R (\cos(\theta_n) - 2 \cos(2\theta_n)) \\ z = -R \sin(3\theta_n) \end{gathered}$$

Nudo tórico (8,3)

Ocho vueltas a lo largo del tubo, tres alrededor del eje.

$$\begin{gathered} r = R + r_0\cos(8\theta) \\ x = r\cos(3\theta) \\ y = r_0\sin(8\theta) \\ z = r\sin(3\theta) \end{gathered}$$

Anillos borromeos

Tres anillos ortogonales, ninguno enlazado con otro, y sin embargo el trío es inseparable.

$$\begin{gathered} R_1: (x,y) \in \text{ellipse},\ z \approx 0 \\ R_2: (y,z) \in \text{ellipse},\ x \approx 0 \\ R_3: (x,z) \in \text{ellipse},\ y \approx 0 \end{gathered}$$

Hélices & espirales

Hélice cilíndrica

La espiral prima de Fermat extruida a lo largo del eje Y, alturas mezcladas para exponer las estructuras anidadas.

$$\begin{gathered} x = r_n \cos(\theta_n) \\ y = h_n \cdot L \\ z = r_n \sin(\theta_n) \end{gathered}$$

Doble hélice

Dos hélices entrelazadas, dobles hebras al estilo del ADN.

$$\begin{gathered} x_1 = R \cos(\theta_n),\ y_1 = h_n \cdot L,\ z_1 = R \sin(\theta_n) \\ x_2 = R \cos(\theta_n + \pi),\ y_2 = h_n \cdot L,\ z_2 = R \sin(\theta_n + \pi) \end{gathered}$$

Disco en espiral de Fermat

Una espiral de Fermat plana, con un soplo de profundidad para la perspectiva.

$$\begin{gathered} x = r_n \cos(\theta_n) \\ y = r_n \sin(\theta_n) \\ z \in [-25, 25] \end{gathered}$$

Esferas & estrellas

Nebulosa esférica

Coordenadas de Fibonacci esféricas, los nodos dispersos en volumen, nunca comprimidos en una cáscara.

$$\begin{gathered} \cos(\phi_n) = 1 - \frac{2i}{N-1} \\ x = r_n \sin(\phi_n) \cos(\theta_n) \\ y = r_n \cos(\phi_n) \\ z = r_n \sin(\phi_n) \sin(\theta_n) \end{gathered}$$

Estrella astroidal

Un elipsoide astroidal, seis cúspides ortogonales.

$$\begin{gathered} x = R \cos^3(v)\cos^3(u) \\ y = R \sin^3(v) \\ z = R \cos^3(v)\sin^3(u) \end{gathered}$$

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Cada una de estas formas se activa desde el panel Geometry del mapa. Cambia de topología libremente, tu memoria se re-enrolla en el sitio.

Y si la memoria necesita un cosmos para ser navegable, quizá por eso el cosmos se parece tanto a una memoria.